3体問題：解けない宇宙の謎に迫る！ニュートンからポアンカレまで400年の歴史とカオス理論

3体問題：解けない宇宙の謎に迫る！ニュートンからポアンカレまで400年の歴史とカオス理論

はじめに：3体問題とは何か？

皆さんは「3体問題」をご存知でしょうか？ これは、天文学における計算上の難問で、互いに重力で引き合う3つの天体の未来の位置や速度を計算するという、一見単純そうに見える問題です。しかし、この問題は実に400年もの間、数学者や天文学者を悩ませ続けている、未解決問題なのです。

この記事では、この難解な3体問題の歴史、その解けない理由、そしてその研究がもたらした意外な進展について、詳しく解説していきます。 ニュートン、オイラー、ラグランジュ、ポアンカレといった偉大な科学者たちの挑戦と、現代科学への影響までを網羅します。準備はよろしいでしょうか？さあ、宇宙の謎解きに挑みましょう！

1体問題と2体問題：シンプルな宇宙

3体問題を理解する前に、まずはもっと簡単な問題を見ていきましょう。

• 1体問題: 天体が1つだけ存在する場合。周囲に働く重力が無いため、既に動いていればその速度で動き続ける。位置の変化も簡単に計算できる。まさに、シンプル極まりない！

1体問題は、まるで宇宙空間を一直線に孤独に旅する宇宙船のようなものです。

• 2体問題: 天体が2つ存在する場合。2つの天体は重力で引き合うため、時間とともに位置や速度が変化する。複雑さは増すものの、特定の時間の位置や速度を表す公式が存在する。

2体問題は、まるで互いの周りを回り続ける、太陽と地球のような安定した関係を思い浮かべれば分かりやすいでしょう。この場合、それぞれの天体の質量、初期位置、初期速度などの初期条件が分かれば、未来の位置と速度を計算できます。

3体問題：混沌とした宇宙の始まり

いよいよ3体問題です。 3つの天体（A、B、Cとしましょう）が重力で引き合う場合、その運動は驚くほど複雑になります。

• 3つの天体の相互作用: 3つの天体がそれぞれ互いに重力で引き合うため、位置や速度は予測不能なほど複雑に変化します。

想像してみてください。3人が綱引きをしている様子を。それぞれの力が複雑に絡み合い、どちらが勝つのか、全く予測できない状況に似ています。

なぜ解けないのか？公式が作れない理由

2体問題では、位置や速度を求める公式が比較的簡単に導き出せました。しかし、3体問題では、この公式が簡単には作れません。その理由は、相互作用の複雑さと、保存量の不足にあります。

具体的に見ていきましょう。

解けない理由①：相互依存する方程式

特定の未来における天体Aの位置を導き出す方程式を作ろうとすると、その方程式の中には、初期条件や時間だけでなく、未来における天体BとCの位置と速度も含まれてしまうのです。

つまり、天体Aの未来を知るには、BとCの未来も知っておく必要があるのです。しかし、BとCの未来を知るには、Aの未来も知っておく必要があり…と、まるで鶏と卵のような無限ループに陥ってしまうのです。

解けない理由②：保存量の不足

物理学では、「保存量」と呼ばれる、時間によらず一定に保たれる量が存在します。 これら保存量を方程式に組み込むことで、未知数の数を減らし、問題を解きやすくすることができます。

2体問題では、保存量が十分にありました。しかし、3体問題では、当時の科学では十分な保存量が見つかりませんでした。

歴史を振り返る：400年の挑戦

3体問題の歴史は、17世紀まで遡ります。

• 17世紀：ニュートンの登場　 ニコラス・コペルニクスやヨハネス・ケプラーの研究により太陽系の惑星が太陽の周りを回っていることは既に知られていました。しかし、当時の理解では、中心天体だけが周囲の天体の運動を決定すると考えられていました。

ニュートンは万有引力の法則を発見し、全ての天体が互いに引かれ合っていることを明らかにしました。この発見は、太陽、地球、月の３天体が常に互いに引き合っていることを意味し、ニュートン自身にとっても大きな問題となりました。

• ニュートンのプリンキピア　ニュートンは自身の有名な著作『プリンキピア』において、「万有引力の法則のもとで、互いに影響を及ぼし合う3つの質点の相対的な運動を特定せよ」と記し、3体問題を初めて提起しました。

• 18世紀：オイラーとラグランジュの貢献　1760年頃、オイラーは「オイラーの直線解」を発見しました。これは、3つの天体が特定の距離比で直線上を保ちながら回転する場合に、その解が求められるというものです。

また、直後にラグランジュは「ラグランジュ点」を発見しました。これは、2つの大きな天体の重力のバランスによって、小さな天体が安定して存在できる5つの位置のことです。オイラーとラグランジュは、1772年にフランス科学アカデミー賞を受賞しました。

解けないことを証明する：ポアンカレの登場

オイラーとラグランジュの発見は、3体問題の一部解に過ぎませんでした。一般的な解は、いまだ見つかりませんでした。

19世紀後半、フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、3体問題の解を級数展開という方法で近似的に求めることを試みました。しかし、彼は驚くべき発見をしました。

ポアンカレは、有限個の級数で解を求めることは不可能であることを証明したのです。

ポアンカレの発見：カオス理論の始まり

ポアンカレは、初期条件のわずかな違いが、長時間の経過後に大きな違いを生むことを発見しました。これは、カオス理論と呼ばれる理論の始まりとされています。

天気予報が長期間の予測が難しいのは、初期条件のわずかな誤差が時間とともに拡大していくためです。

3体問題のその後：近似解と統計的手法

ポアンカレの発見以降、3体問題を完全に解くことは諦められました。しかし、コンピュータの発達により、数値計算による近似解を求めることが可能になりました。

また、ランダムな初期条件から大量の3体運動を計算し、最終状態の統計的な分布を調べることで、統計的手法を用いた研究も進められています。

まとめ：解けないからこそ価値がある

3体問題を解くという当初の目標は達成されませんでしたが、その研究はカオス理論の誕生や、ラグランジュ点の利用など、現代科学に大きな貢献をもたらしました。

3体問題は、解けない問題があることを示し、科学的な思考方法に新たな地平を開いたのです。

さらに深く知りたい方へ

この記事では、3体問題の概要と歴史を解説しました。より深く知りたい方は、以下のキーワードで検索してみてください。

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この謎めいた3体問題は、今後も研究者たちを魅了し続けるでしょう。あなたも、宇宙の神秘に思いを馳せてみませんか？